ISTA పరిశోధకులు గ్రాఫ్ ఐసోమోర్ఫిజం అల్గారిథమ్‌లు ఎందుకు అంత ప్రభావవంతంగా ఉన్నాయని పరిశోధించారు
గ్రాఫ్‌లు ప్రతిచోటా ఉన్నాయి. వివిక్త గణితంలో, అవి పబ్లిక్ ట్రాన్స్‌పోర్టేషన్ నెట్‌వర్క్ లాగా పాయింట్ల మధ్య కనెక్షన్‌లను చూపించే నిర్మాణాలు. గణిత శాస్త్రజ్ఞులు ఏదైనా రెండు గ్రాఫ్‌లను పోల్చగల అల్గారిథమ్‌లను అభివృద్ధి చేయడానికి చాలా కాలంగా ప్రయత్నిస్తున్నారు. ఆచరణలో, అనేక అల్గారిథమ్‌లు ఎల్లప్పుడూ సమర్ధవంతంగా పని చేస్తాయి. కానీ సిద్ధాంతపరంగా, ఎటువంటి హామీ లేదు. ఒక కొత్త లో arXiv ప్రిప్రింట్, నుండి పరిశోధకులు క్వాన్ గ్రూప్ ఇన్స్టిట్యూట్ ఆఫ్ సైన్స్ అండ్ టెక్నాలజీ ఆస్ట్రియా (ISTA)లో ఎందుకు అర్థం చేసుకోవడానికి ఒక పద్ధతిని అభివృద్ధి చేశారు.
కొన్ని గణిత సమస్యల కష్టం అవి ఎంత కష్టమో తెలియకపోవడమే. కంప్యూటర్ సైన్స్‌లో “గ్రాఫ్ ఐసోమోర్ఫిజం టెస్టింగ్” అని పిలువబడే ఒక ముఖ్యమైన సమస్య ఇది, దీని ద్వారా శాస్త్రవేత్తలు రెండు గ్రాఫ్‌లు ఒకేలా ఉన్నాయో లేదో పరీక్షించడానికి అల్గారిథమ్‌లను ఉపయోగిస్తారు. సిద్ధాంతంలో, అల్గారిథమ్‌లు విశ్వం యొక్క వయస్సు కంటే ఎక్కువ కాలం పనిచేస్తాయని తోసిపుచ్చలేము. కానీ ఆచరణలో, చాలా అల్గోరిథంలు బాగా పని చేస్తున్నాయి. దాదాపు ఎల్లప్పుడూ. ఈ అల్గారిథమ్‌లు ఎందుకు అంత ప్రభావవంతంగా కనిపిస్తున్నాయి’ ఇన్స్టిట్యూట్ ఆఫ్ సైన్స్ అండ్ టెక్నాలజీ ఆస్ట్రియా (ISTA) పోస్ట్‌డాక్స్ మైఖేల్ అనస్టోస్ మరియు బెంజమిన్ మూర్ మరియు అసిస్టెంట్ ప్రొఫెసర్ మాథ్యూ క్వాన్ తమ కొత్త ప్రిప్రింట్‌లో ఈ ప్రశ్నను పరిష్కరించారు. “గ్రాఫ్ ఐసోమార్ఫిజం సమస్య యొక్క సంక్లిష్టత కంప్యూటర్ సైన్స్‌లో అత్యంత చమత్కారమైన ప్రశ్నలలో ఒకటి” అని అనస్టోస్ చెప్పారు. క్వాన్ జతచేస్తుంది, “గ్రాఫ్ ఐసోమోర్ఫిజం సమస్య కష్టంగా కనిపించడం లేదు, కానీ అది సులభమని మేము ఇంకా నిరూపించలేము.”
మోడలింగ్ నెట్‌వర్క్‌ల సంక్లిష్టత
సోషల్ నెట్‌వర్క్‌లు, కమ్యూనికేషన్ మార్గాలు, కంప్యూటర్ నెట్‌వర్క్‌లు మరియు ఇతరులు వంటి అనేక రకాల సిస్టమ్‌లను మోడల్ చేయడానికి గ్రాఫ్‌లు ఉపయోగించబడతాయి. ఇది రసాయన సమ్మేళనాలకు కూడా వర్తిస్తుంది. “రసాయన శాస్త్రవేత్తలు అణువులను పోల్చడానికి మరియు రసాయనాల డేటాబేస్‌లను రూపొందించడానికి గ్రాఫ్ ఐసోమార్ఫిజం టెస్టింగ్ అల్గారిథమ్‌లను ఉపయోగిస్తారు” అని క్వాన్ చెప్పారు. ఇది వారి కొత్తగా సంశ్లేషణ చేయబడిన సమ్మేళనాల కొత్తదనాన్ని తనిఖీ చేయడానికి అనుమతిస్తుంది. కానీ గ్రాఫ్‌లు, నిర్దిష్ట కోణాలు మరియు పరిమాణాలతో జ్యామితీయ ఆకారాల వలె కాకుండా, నెట్‌వర్క్‌లను సూచిస్తాయి. అందువల్ల, అవి చాలా క్లిష్టంగా ఉంటాయి మరియు వాటి నోడ్స్-పాయింట్ల కనెక్షన్-స్వేచ్ఛగా ఉంచబడతాయి, ఇది వాటిని దృశ్యమానంగా గుర్తించలేనిదిగా చేస్తుంది. సాధ్యమయ్యే అన్ని పరిస్థితులలో ఇటువంటి సంక్లిష్ట గ్రాఫ్‌లను పోల్చడం గణిత శాస్త్రవేత్తలను అబ్బురపరిచింది.
రంగులతో శుద్ధి చేయడం
గ్రాఫ్‌లను పోల్చడానికి గణిత శాస్త్రజ్ఞులు వివిధ వ్యూహాలను అభివృద్ధి చేశారు. 1970ల నుండి, అల్గోరిథంలు గ్రాఫ్ ఐసోమోర్ఫిజమ్‌ను పరీక్షించగలిగాయి, కానీ ఘాతాంక సమయంలో. గ్రాఫ్‌ల యొక్క పెరుగుతున్న సంక్లిష్టత అల్గోరిథం యొక్క రన్నింగ్ సమయాన్ని అసమానంగా పెంచిందని మరియు దానిని గణనీయంగా తగ్గించిందని దీని అర్థం. 2015లో, కంప్యూటర్ శాస్త్రవేత్త మరియు గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు లాస్జ్లో బాబాయ్ “పాక్షిక-పాలినోమియల్ టైమ్”లో పనిచేసే అల్గోరిథంను ప్రతిపాదించడం ద్వారా పురోగతి సాధించారు. ఇది సమర్థవంతమైన అల్గారిథమ్‌లను అసమర్థమైన వాటి నుండి వేరుచేసే “పాలినోమియల్-టైమ్” బెంచ్‌మార్క్‌కు చాలా దగ్గరగా ఉంటుంది. కానీ ఇప్పటికే 1980లో, మరొక శాస్త్రీయ సిద్ధాంతం-బాబాయ్-ఎర్డోస్-సెల్కోవ్ సిద్ధాంతం-సులభమైన ఐసోమార్ఫిజం పరీక్షను సాధ్యం చేయడానికి దాదాపు అన్ని గ్రాఫ్‌లను రీలేబుల్ చేయవచ్చని చూపించింది. ఇది “కలర్ రిఫైన్‌మెంట్” అని పిలువబడే ఒక రకమైన శుద్ధీకరణ కారణంగా జరుగుతుంది, దీని ద్వారా అల్గోరిథం గ్రాఫ్‌లోని ప్రతి నోడ్ యొక్క కనెక్షన్‌లను అధ్యయనం చేస్తుంది మరియు దానికి రంగును కేటాయిస్తుంది. ఈ విధంగా కేటాయించబడిన విభిన్న రంగులు ఒక నిర్దిష్ట నోడ్ ఎన్ని ఇతర శీర్షాలను ‘చూస్తుందో’ సులభంగా గుర్తించడానికి అల్గారిథమ్‌ను అనుమతిస్తాయి.
ఈ విధానం గ్రాఫ్‌ల పెద్ద పూల్‌లో పోలికను సులభతరం చేస్తుంది. “వర్ణ శుద్ధీకరణపై ఆధారపడిన అల్గారిథమ్‌లు ఆచరణలో చాలా సందర్భాలలో పని చేస్తున్నాయి. అయితే ఇది ఘాతాంక సమయాన్ని తీసుకోవచ్చని సిద్ధాంతం చెప్పినప్పుడు ఇది ఎలా ఉంటుంది” అని అనస్టోస్ అడుగుతాడు. “అత్యున్నతమైన చెత్త-కేస్ రన్నింగ్ హామీల కోసం ఆప్టిమైజ్ చేయబడిన అల్గారిథమ్‌లను రూపొందించడం మా పని లక్ష్యం కాదు. బదులుగా, మేము సైద్ధాంతిక సమర్థనను అందించడం మరియు రంగు శుద్ధీకరణపై ఆధారపడిన అల్గారిథమ్‌లు ఎందుకు అంత ప్రభావవంతంగా ఉన్నాయో అంతర్దృష్టిని అందించడం లక్ష్యంగా పెట్టుకున్నాము.”
యాదృచ్ఛిక కదలికలు మరియు సున్నితమైన విశ్లేషణ
వర్ణ శుద్ధీకరణ ట్రిక్‌ను ఎందుకు చేస్తుందో బాగా అర్థం చేసుకోవడానికి-కనీసం చాలా సందర్భాలలో ఆచరణలో-అనాస్టోస్, క్వాన్ మరియు మూర్ దీనిని “సున్నితమైన విశ్లేషణ” అనే మరొక భావనతో కలిపారు. 2000ల ప్రారంభంలో కంప్యూటర్ శాస్త్రవేత్తలు డేనియల్ స్పీల్‌మాన్ మరియు షాంగ్-హువా టెంగ్ ద్వారా పరిచయం చేయబడింది, ఇది అల్గారిథమ్‌ల సగటు-కేస్ మరియు చెత్త-కేస్ పనితీరు మధ్య అంతరాన్ని తగ్గించడానికి ఒక సాధారణ ఉదాహరణ. స్మూత్డ్ అనాలిసిస్ 2008లో స్పీల్‌మాన్ మరియు టెంగ్‌లకు గోడెల్ ప్రైజ్‌ని గెలుచుకుంది, ఇది సైద్ధాంతిక కంప్యూటర్ సైన్స్‌లో అత్యుత్తమ పత్రాలకు వార్షిక బహుమతి.
సరళంగా చెప్పాలంటే, స్మూత్డ్ ఎనాలిసిస్ అనేది గ్రాఫ్‌లోని కనెక్షన్‌లకు పూర్తిగా చెత్త దృష్టాంతాలపై దృష్టి పెట్టడం కంటే చిన్న యాదృచ్ఛిక కదలికలను పరిచయం చేస్తుంది. “ఏదైనా ఇన్‌పుట్‌ను యాదృచ్ఛికంగా కలవరపెట్టిన తర్వాత ఒక అల్గోరిథం బాగా పనిచేసినట్లయితే, చెడు ఇన్‌పుట్‌లు ‘అరుదైన’, ‘పెళుసుగా’ లేదా ‘అస్థిరమైనవి’ అని ఇది మనకు చెబుతుంది, ఇది ఆచరణలో మనం ఎందుకు చూడకూడదనే దానికి కొంత సమర్థనను ఇస్తుంది, ” అని క్వాన్ వివరించాడు. “మేము ఏ గ్రాఫ్‌తో ప్రారంభించినా, నోడ్‌ల మధ్య కొన్ని అంచులు లేదా కనెక్షన్‌లను యాదృచ్ఛికంగా తిప్పిన తర్వాత, రంగు శుద్ధీకరణ ఆధారంగా అల్గోరిథంలు చాలా సమర్థవంతంగా పనిచేస్తాయని మేము చూపుతాము.” రంగు శుద్ధీకరణపై ఆధారపడిన అల్గారిథమ్‌లు ఆచరణలో ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ రన్నింగ్ టైమ్‌లో ఎందుకు చిక్కుకుపోవు అని ఇది వివరిస్తుంది.
అయోమయ సమస్య నుండి “ఏ సమస్య” వరకు
ఏదైనా గ్రాఫ్‌ను సరిపోల్చగల మాయా అల్గారిథమ్‌ను కనుగొనకుండా, చెత్త దృష్టాంతంలో కూడా, ISTA పరిశోధకులు కొన్ని అల్గారిథమ్‌లు ఆచరణలో ఎందుకు పని చేస్తున్నాయి అనే తత్వశాస్త్రాన్ని అర్థం చేసుకోవడానికి ప్రయత్నించారు. అందువల్ల, వారు గణనపరంగా కష్టమైన సమస్య యొక్క గణిత శాస్త్రాన్ని అర్థం చేసుకోవాలని లక్ష్యంగా పెట్టుకున్నారు. సున్నితమైన విశ్లేషణతో రంగు శుద్ధీకరణను కలపడం ద్వారా, ఇప్పటికే ఉన్న అల్గారిథమ్‌లకు సమస్యలను కలిగించే గ్రాఫ్‌లు చాలా దుర్బలమైన నిర్మాణాన్ని కలిగి ఉన్నాయని అనస్టోస్ మరియు అతని సహచరులు చూపించారు. వారు ఈ నిర్మాణం నుండి వైదొలిగిన వెంటనే, అల్గోరిథంలు మరింత సమర్థవంతంగా పని చేస్తాయి. “గ్రాఫ్ ఐసోమార్ఫిజం సమస్య నిజానికి పరిష్కరించడం సులభం అని నిరూపించడానికి మేము ఒక అడుగు దగ్గరగా వస్తున్నాము” అని అనస్టోస్ ముగించారు.
ప్రచురణ:
మైఖేల్ అనస్టోస్, మాథ్యూ క్వాన్ & బెంజమిన్ మూర్. 2024. గ్రాఫ్ ఐసోమోర్ఫిజం కోసం స్మూత్డ్ అనాలిసిస్.arXiv. DOI: 10.48550/arXiv.2410.06095
